<!DOCTYPE html> 
<!-- 声明 HTML5 文档-->
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        <!-- 设置视口 -->
        <title>SVM Algorithm</title> 
        <!-- 浏览器的标题栏或页面选项 -->
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            /*导航栏样式*/
            header {
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            .nav-links {
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            /*主要内容样式*/
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            }
             /* 概念卡片 */
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                grid-template-columns: repeat(auto-fit, minmax(320px, 1fr));
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            }

            .concept-card {
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            }

            .concept-card:hover {
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            .concept-card h3 {
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                color: var(--gray);
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            .concept-card ul {
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                color: var(--dark);
            }

            .concept-card li {
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            }
            /*大标题区域样式*/
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            color: white;
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            }
            .hero-content {
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            /*文本展示区用于历史沿革部分*/
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                text-indent: 2em;
            }
            /*核函数部分样式*/
            .kernel-types {
                max-width: 900px;
                margin: 0 auto;
            }

            .kernel-item {
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                border-radius: 8px;
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                box-shadow: 0 4px 15px rgba(0,0,0,0.05);
                transition: transform 0.3s;
            }

            .kernel-item:hover {
                transform: translateX(8px);
            }

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                display: flex;
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            }

            .kernel-formula {
                font-family: 'Courier New', monospace;
                background-color: #f8f9fa;
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                margin: 15px 0;
                color: var(--accent);
                font-size: 1.1rem;
            }
            /* 原理说明 */
            .principle-content {
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                grid-template-columns: 1fr 1fr;
                gap: 40px;
                align-items: center;
            }

            .principle-text h3 {
                font-size: 1.8rem;
                color: var(--primary);
                margin-bottom: 25px;
            }

            .principle-text p {
                margin-bottom: 20px;
                color: var(--dark);
            }

            .principle-text .highlight {
                background-color: rgba(41, 128, 185, 0.1);
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                border-radius: 3px;
                color: var(--secondary);
                font-weight: 500;
            }

            .principle-figure {
                background-color: white;
                padding: 25px;
                border-radius: 10px;
                box-shadow: 0 6px 18px rgba(0,0,0,0.06);
            }
            /* 表格部分 */
            .comparison-table {
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                border-collapse: collapse;
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                border-radius: 10px;
                overflow: hidden;
                box-shadow: 0 6px 18px rgba(0,0,0,0.06);
            }

            .comparison-table th,
            .comparison-table td {
                padding: 18px;
                text-align: left;
                border-bottom: 1px solid #f1f1f1;
            }

            .comparison-table th {
                background-color: var(--primary);
                color: white;
                font-weight: 600;
            }

            .comparison-table tr:last-child td {
                border-bottom: none;
            }

            .comparison-table tr:hover {
                background-color: #f9f9f9;
            }

            footer {
                background-color: var(--primary);
                color: white;
                padding: 70px 0 35px;
            }
            .footer-content {
                display: grid;
                grid-template-columns: repeat(auto-fit, minmax(250px, 1fr));
                gap: 45px;
                margin-bottom: 50px;
            }
            .footer-col h3 {
                font-size: 1.3rem;
                margin-bottom: 25px;
                position: relative;
                padding-bottom: 12px;
            }

            .footer-col h3::after {
                content: '';
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                bottom: 0;
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                height: 2px;
                background-color: var(--secondary);
            }

            

            .footer-col ul li {
                margin-bottom: 12px;
            }

            .footer-col a {
                color: rgba(255,255,255,0.8);
                text-decoration: none;
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                align-items: center;
                gap: 8px;
            }

            .footer-col a:hover {
                color: var(--secondary);
            }

            .copyright {
                text-align: center;
                padding-top: 35px;
                border-top: 1px solid rgba(255,255,255,0.1);
                font-size: 0.95rem;
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            }
        </style>
    </head>
    <body> <!-- 正文可见内容 -->
        <!--导航-->
        <header>
            <div class="container">
                <nav class="navbar">
                    <a href="#" style="text-decoration: none;">
                        SVM算法
                    </a>
                    <ul class="nav-links" id="navLinks">
                        <li><a href ="#history">历史沿革</a></li>
                        <li><a href="#concept">基本概念</a></li>
                        <li><a href="#kernel">核函数</a></li>
                        <li><a href="#principle">工作原理</a></li>
                        <li><a href="#comparison">算法对比</a></li>
                    </ul>
                    <div class="menu-toggle" id="menuToggle">☰</div>
                </nav>
            </div>
        </header>

        <!--大标题-->
        <section class="hero">
            <div class="container">
                <div class="hero-content">
                    <h1>支持向量机 (SVM)</h1>
                    <p>一种强大的监督学习模型，通过寻找最优超平面实现高效分类，在高维空间中表现卓越，是机器学习领域的重要算法之一。</p>
                </div>
            </div>
        </section>

        <br>
        <br>

        <!--历史沿革部分-->
        <section class = "section" id = "history">
            <div class = "container">
                <div class = "section-title">
                    <h1>历史沿革</h1>
                    <p><span style="color:#95a5a6"> 支持向量机的发展是机器学习领域的大事件，最早可追溯至20 世纪中叶，历经多个关键阶段的突破与完善，最终成为现代机器学习的核心算法之一。</span></p>
                </div>
                <div class = "container">
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                            Vladimir Naumovich Vapnik 点击以了解详细信息
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                        <P><span style = "color:#95a5a6">注：图为Vladimir Naumovich Vapnik(中译 弗拉基米尔 万普尼克)，是贯穿支持向量机发展的重要学者，对统计学习领域有巨大贡献</span></P>
                <div class = "container">
                    <h2>理论奠基</h2>
                    <p class = "textdisplay">SVM 的理论源头可追溯至线性判别分析（1936 年，Ronald Fisher），但其直接理论基础由苏联学者弗拉基米尔・瓦普尼克（Vladimir Vapnik）和阿列克谢・切尔沃涅基（Alexey Chervonenkis）奠定。1963 年，Vapnik 和 Lerner 提出广义肖像算法（Generalized Portrait Algorithm），首次尝试通过最大化分类间隔求解线性分类问题。1964 年，两人进一步建立硬间隔线性 SVM，通过数学推导证明了最大间隔超平面的存在性。这一时期的研究虽未形成完整框架，但提出了 “结构风险最小化”（Structural Risk Minimization, SRM）原则，为后续统计学习理论的发展埋下伏笔。
1974 年，Vapnik 和 Chervonenkis 发表开创性论文，系统阐述VC 维（Vapnik-Chervonenkis Dimension）理论，将模型复杂度与泛化能力关联，标志着统计学习理论的诞生。这一理论突破为 SVM 提供了严格的数学支撑，使其从经验方法转向科学范式。1979 年，两人的著作《模式识别中的统计学习理论》德文版出版，进一步推动了 SVM 在国际学术界的传播。</p>
                    <p class = "textdisplay">1974 年，Vapnik 和 Chervonenkis 发表开创性论文，系统阐述VC 维（Vapnik-Chervonenkis Dimension）理论，将模型复杂度与泛化能力关联，标志着统计学习理论的诞生。这一理论突破为 SVM 提供了严格的数学支撑，使其从经验方法转向科学范式。1979 年，两人的著作《模式识别中的统计学习理论》德文版出版，进一步推动了 SVM 在国际学术界的传播。</p>
                </div>
                <div class = "container">
                    <h2>算法成型与核技巧突破</h2>
                    <p class = "textdisplay">1992 年，Boser、Guyon 和 Vapnik 在 COLT 会议上首次提出核技巧（Kernel Trick），通过将数据隐式映射到高维特征空间，成功解决非线性分类问题。这一创新使 SVM 的应用范围从线性可分场景扩展到复杂数据集，例如手写字符识别和文本分类。核技巧的数学本质是利用核函数（如 RBF 核、多项式核）替代高维空间的显式计算，既降低了复杂度，又保留了非线性建模能力。</p>
                    <p class = "textdisplay">1995 年，Cortes 和 Vapnik 在《Machine Learning》期刊发表论文，正式提出软间隔 SVM，引入松弛变量和惩罚参数 C，允许模型在一定程度上容忍分类错误。这一改进显著提升了 SVM 在含噪声数据上的鲁棒性，标志着现代 SVM 模型的最终成型。同年，他们将 SVM 应用于 MNIST 手写数字识别任务，错误率降至 0.8%，远超同期神经网络的 5%。</p>
                    <p class = "textdisplay">1998 年，Vapnik 等人进一步完善 SVM 的理论体系，通过严格的统计上界分析（如 Bartlett 的泛化误差界），为模型选择和参数调优提供了理论依据。至此，SVM 已成为集高效算法、严格理论和卓越性能于一身的机器学习标杆。</p>
                </div>
                <div class = "container">
                    <h2>工具化与广泛应用</h2>
                    <p class = "textdisplay">2000 年，台湾大学林智仁教授团队发布开源工具LIBSVM，极大降低了 SVM 的使用门槛。该库支持多种核函数、多分类和回归任务，并提供高效的序列最小优化（SMO）算法，成为学术界和工业界的首选工具。截至 2010 年，LIBSVM 下载量超过 25 万次，被集成到 Scikit-learn、RapidMiner 等主流平台。</p>
                </div>
            </div>
        </section>
        
        <br>
        <br>

        <!--基本概念-->
        <section id = "concept" class = "section">
            <div class = "container">
                <div class = "section-title">
                    <h1>基本概念</h1>
                    <p><span style = "color:#95a5a6">支持向量机算法有一下几个重要概念：最优超平面，支持向量，分类决策函数和对偶算法</span></p>
                </div>
                <div class="concept-grid">
                <!-- 最优超平面 -->
                    <div class="concept-card fade-in">
                        <h3>最优超平面</h3>
                        <p>在svm算法中，利用超平面对样本进行分割，我们定义最优的超平面是使间隔最大化的超平面</p>
                        <ul>
                            <li>二分类问题中表现为直线</li>
                            <li>多分类问题中表现为超平面</li>
                            <li>间隔最大化是核心目标</li>
                        </ul>
                    </div>

                    <!-- 支持向量 -->
                    <div class="concept-card fade-in delay-100">
                        <h3>支持向量</h3>
                        <p>距离超平面最近的样本点，是使约束条件式等号成立的点，这些点决定了超平面的位置和方向，是构建SVM模型的关键元素。</p>
                        <ul>
                            <li>位于间隔边界上的样本点</li>
                            <li>决定了分类器的性能</li>
                        </ul>
                    </div>

                    <!-- 分类决策函数 -->
                    <div class="concept-card fade-in delay-200">
                        <h3>分类决策函数</h3>
                        <p>在线性可分时为 <p>$$ f(x) = \text{sign}(w \cdot x + b) $$</p></p>
                        <p>当非线性可分，使用核函数K时，为<p>$$ f(x) = \text{sign}\left( \sum_{i=1}^{N} \alpha_i^* y_i K(x, x_i) + b^* \right) $$</p></p>
                    </div>

                    <div class="concept-card fade-in delay-300">
                        <h3>学习的对偶算法</h3>
                        <p>利用最优化方法的相关结论，我们将原问题转化为对偶问题，对偶问题本身的解决更简单</p>
                        <p>以线性为例</p>
                        <ol>
                            <li>首先构建拉格朗日函数L(w, b, α), 求min[w, b] L</wbr></li>
                            <li>求min[w, b] L对α的极大</li>
                            <li>利用KKT条件进行化简转化</li>
                        </ol>
                    </div>
                </div>
            </div>
        </section>
        
        <br>
        <br>

        <section class = "section" id = "kernel">
            <div class = "container">
                <div class = "section-title">
                    <h1>核函数</h1>
                    <p><span style = "color:#95a5a6">核函数是一种强大的技巧，旨在在将数据映射到高维的同时避免过大的计算量</span></p>
                </div>
                <div class = "container">
                    <p class = "textdisplay">当运用svm算法时，我们可以发现，常规的svm只能进行对线性可分数据的分类，对于非线性可分的则无能为力。于是我们有这样的想法：能否将原数据映射到更高维的空间中，在这一空间中，数据是线性可分的。但是在实际运算中，我们会面临时间复杂度的剧增，于是
                        我们希望对于两个样本x和z，其经过映射后的新向量的内积可以用一个函数来计算，即对映射φ ：R^n -> R^m ,有核函数K(x,z) = <φ(x) , φ(z)>
                        
                    </p>
                    <p class = "textdisplay">下面介绍几种常见的核函数</p>
                </div>
                <div class="kernel-types">
                    <div class="kernel-item fade-in">
                        <h3>
                            线性核函数 (Linear Kernel)
                        </h3>
                        <p>最简单的核函数，适用于线性可分的数据，计算效率高。</p>
                        <div class="kernel-formula">K(x, x') = x · x' + c</div>
                        <p>适用场景：文本分类（高维特征）、线性可分数据，当样本数量远小于特征维度时表现优秀。</p>
                    </div>

                    <div class="kernel-item fade-in delay-100">
                        <h3>
                            多项式核函数 (Polynomial Kernel)
                        </h3>
                        <p>通过多项式变换实现非线性映射，阶数d控制非线性程度。</p>
                        <div class="kernel-formula">K(x, x') = (γx · x' + r)^d</div>
                        <p>适用场景：图像识别、计算机视觉，需要手动调整阶数参数，较高阶数可能导致过拟合。</p>
                    </div>

                    <div class="kernel-item fade-in delay-200">
                        <h3>
                            径向基核函数 (RBF Kernel)
                        </h3>
                        <p>最常用的核函数，具有很强的非线性映射能力，参数γ控制高斯函数的宽度。</p>
                        <div class="kernel-formula">K(x, x') = exp(-γ||x - x'||²)</div>
                        <p>适用场景：大多数非线性问题，无需手动调整复杂参数，是默认的首选核函数。</p>
                    </div>

                    <div class="kernel-item fade-in delay-300">
                        <h3>
                            Sigmoid核函数
                        </h3>
                        <p>类似神经网络中的激活函数，可将SVM转化为一种神经网络模型。</p>
                        <div class="kernel-formula">K(x, x') = tanh(γx · x' + r)</div>
                        <p>适用场景：文本分类，有时在神经网络中作为替代方案使用，稳定性不如RBF核。</p>
                    </div>
                </div>
            </div>
        </section>

        <br>
        <br>

        <section class = "section" id = "principle">
            <div class = "container">
                <div class = "section-title">
                    <h1>工作原理</h1>
                    <p><span style = "color:#95a5a6">在线性可分情况下，直接采用线性可分支持向量机；当非线性可分时，利用核函数转化为高维的”线性可分“，再求解</span></p>
                </div>
                <div>
                    <img src="svm.png" style="position: relative; left: 250px; top: 0px; width: 600px; height: 600px;display:block" />
                </div>
                <div class="principle-content">
                    <div class="principle-text">
                        <h3>线性可分</h3>
                        <p>当样本在特征空间中线性可分时，SVM寻找一个超平面将两类样本完全分开，同时使间隔最大化。</p>
                        
                        <p>超平面方程表示为：<span class="highlight">w·x + b = 0</span></p>
                        
                        <p>其中：
                        <ul style="padding-left: 20px; margin: 10px 0;">
                            <li><span class="highlight">w</span> 是超平面的法向量</li>
                            <li><span class="highlight">b</span> 是偏置项</li>
                            <li><span class="highlight">x</span> 是样本特征向量</li>
                        </ul>
                        </p>
                        
                        <h3 style="margin-top: 30px;">线性不可分情形</h3>
                        <p>当样本线性不可分时，引入<span class="highlight">松弛变量</span>允许部分样本违反间隔约束，同时引入<span class="highlight">惩罚参数C</span>控制对违反约束样本的惩罚程度。</p>
                        
                        <p>通过<span class="highlight">核函数技巧</span>，将低维空间中的非线性问题转化为高维空间中的线性问题，无需显式进行维度映射，大大降低计算复杂度。</p>
                </div>
            </div>
        </search>

        <br>
        <br>

        <section id = "comparison" class = "section">
            <div class = container>
                <div class = "section-title">
                    <h1>算法对比</h1>
                    <p><span style="color:#95a5a6">svm算法与其他常见算法的比较</span></p>
                </div>
                <div class = "comparison-table">
                    <table>
                        <thead>
                            <tr>
                                <th>算法</th>
                                <th>优点</th>
                                <th>缺点</th>
                                <th>适用场景</th>
                                <th>时间复杂度</th>
                            </tr>
                        </thead>
                        <tbody>
                            <tr>
                                <td><strong style="color: var(--secondary);">SVM</strong></td>
                                <td>
                                    <ul style="padding-left: 20px;">
                                        <li>高维空间表现好</li>
                                        <li>泛化能力强</li>
                                        <li>通过核函数处理非线性</li>
                                    </ul>
                                </td>
                                <td>
                                    <ul style="padding-left: 20px;">
                                        <li>大规模数据训练慢</li>
                                        <li>参数调优复杂</li>
                                        <li>多分类需特殊处理</li>
                                    </ul>
                                </td>
                                <td>中小型数据集、文本分类、图像识别</td>
                                <td>O(n²) ~ O(n³)</td>
                            </tr>
                            <tr>
                                <td>逻辑回归</td>
                                <td>
                                    <ul style="padding-left: 20px;">
                                        <li>训练速度快</li>
                                        <li>可解释性好</li>
                                        <li>输出概率值</li>
                                    </ul>
                                </td>
                                <td>
                                    <ul style="padding-left: 20px;">
                                        <li>处理非线性能力弱</li>
                                        <li>特征工程要求高</li>
                                    </ul>
                                </td>
                                <td>二分类问题、概率预测、大规模数据</td>
                                <td>O(n)</td>
                            </tr>
                            <tr>
                                <td>决策树</td>
                                <td>
                                    <ul style="padding-left: 20px;">
                                        <li>可解释性强</li>
                                        <li>处理非线性数据</li>
                                        <li>训练速度快</li>
                                    </ul>
                                </td>
                                <td>
                                    <ul style="padding-left: 20px;">
                                        <li>容易过拟合</li>
                                        <li>稳定性差</li>
                                    </ul>
                                </td>
                                <td>规则提取、特征重要性分析</td>
                                <td>O(n log n)</td>
                            </tr>
                            <tr>
                                <td>神经网络</td>
                                <td>
                                    <ul style="padding-left: 20px;">
                                        <li>处理复杂非线性关系</li>
                                        <li>自动学习特征</li>
                                        <li>并行计算友好</li>
                                    </ul>
                                </td>
                                <td>
                                    <ul style="padding-left: 20px;">
                                        <li>需要大量数据</li>
                                        <li>可解释性差</li>
                                        <li>训练成本高</li>
                                    </ul>
                                </td>
                                <td>图像识别、语音处理、大规模数据</td>
                                <td>O(n·d·k) (d为维度，k为层数)</td>
                            </tr>
                        </tbody>
                    </table>
                </div>
            </div>
        </section>
        
        <footer>
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                    <h3>支持向量机(SVM)</h3>
                    <p>本页面详细介绍了SVM算法的历史沿革、基本概念、核函数、工作原理、算法对比</p>
                </div>
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                        <li><a href = "#comparison">算法对比</a></li>
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                    <h3>学习资源</h3>
                    <ul>
                        <li><a href="https://scikit-learn.org/stable/modules/svm.html" target="_blank">
                            
                            scikit-learn SVM文档
                        </a></li>
                        <li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Support-vector_machine" target="_blank">
                            
                            维基百科 - SVM
                        </a></li>
                        <li><a href="https://see.stanford.edu/Course/CS229/47" target="_blank">
                            
                            Stanford University Machine Learning CS 229
                        </a></li>
                    </ul>
                </div>
            </div>
            <div class="copyright">
                <p>&copy; 2025 支持向量机(SVM)算法介绍</p>
            </div>
        </div>
    </footer>
    </body>
</html>

